MAKALAH
“LOGIKA”
Untuk
Memenuhi Tugas Mata Kuliah Matematika 2 yang Dibimbing oleh :
Fida
Rahmatika , M.Pd.
Disusun
oleh kelompok 1 :
1. Saiful Nur S.H.N
( 15141224 )
2. Wahyu
Nuralita
( 15141202 )
3. Wahyu Nurainy
( 15141201 )
4. Noki Agung Wahyudi ( 15141215 )
5. Farisy Aqimudin ( 15141204 )
6. Tegar Putra Anggara ( 15141234 )
PROGRAM STUDI
PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR FAKULTAS ILMU PENDIDIKAN
IKIP PGRI MADIUN
2015/2016
KATA
PENGANTAR
Dengan mengucapkan puji syukur
Alhamdulillah kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat, nikmat,
karunia serta hidayahNya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan
makalah yang berjudul ” LOGIKA”.
Adapun maksud penulisan makalah
ini adalah untuk memenuhi tugas dari mata kuliah Matematika 2 di IKIP PGRI
MADIUN
Penulis sadar
bahwa makalah ini dapat terselesaikan berkat dorongan dan bantuan dari semua
pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar- besarnya
kepada :
1.
Ibu Fida
Rahmatika, MPd selaku dosen mata kuliah Matematika 2 serta pembimbing dalam
penyusunan makalah ini.
2.
Teman-teman mahasiswa IKIP PGRI Madiun yang telah ikut
terlibat dalam penyusunan makalah ini.
3.
Semua pihak yang
telah membantu dalam penyusunan makalah ini.
Penulis menyadari karena keterbatasan pengetahuan dan kemampuan makalah
ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang
membangun dari pembaca sangat kami harapkan untuk kesempurnaan makalah ini.
Madiun, 8 Maret 2016
Penulis
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR...................................................................................
ii
DAFTAR ISI..................................................................................................
iii
BAB I Pendahuluan
A. Latar Belakang............................................................................................ .
1
B. Tujuan Penulisan.......................................................................................... .
2
C.Manfaat Penulisan........................................................................................ .
2
BAB II Pembahasan
A. Konjungsi.................................................................................................... .
3
B. Disjungsi...................................................................................................... .
4
C. Implikasi...................................................................................................... .
7
D. Biimplikasi……………………………………………………………….... 10
E. Konvers, Invers, Kontraposisi……………………………………………....12
BAB III Penutup
A. Kesimpulan…………………………………………………………............13
B. Saran……………………………………………………………………….
14
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR TABEL
Tabel 1 : Tabel kebenaran
konjungsi………………………………………..4
Tabel 2 : Tabel kebenaran
disjungsi…………………………………………5
Tabel 3 : Tabel kebenaran
implikasi………………………………………...7
Tabel 4 : Tabel kebenaran tautologi…………………………………………8
Tabel 5 : Tabel kebenaran
kontradiksi………………………………………9
Tabel 6 : Tabel kebenaran implikasi
logis…………………………………..10
Tabel 7 : Tabel kebenaran
biimplikasi………………………………………10
Tabel 8 : Tabel kebenaran biimplikasi
logis………………………………...11
Tabel 9 :
Tabel kebenaran konvers, invers, kontraposisi…………
BAB
1
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Belakangan ini ilmu matematika telah berkembang pesat
bukan hanya sebatas hitung menghitung menggunakan skala statistik, nilai ,
angka-angka real dan peluang.Akan tetapi, perkembangan ilmu matematika juga
terjadi didasarkan pada penalaran-penalaran yang logis atas system matematis.
Penalaran yang dilakukan oleh para ahli matematika
diperoleh atas realita kehidupan yang nyata yang dirasakan oleh manusia.
Perkembangan dan aplikasi dan bagian matematika ini sangat dirasakan oleh
manusia di berbagai kehidupan. Penalaran inilah dalam bahasa matematika sering
disebut logika.
Logika merupakan suatu aktivitas manusia yang
berkaitan dengan penggunaan akal dan pikiran sehingga menghasilkan suatu
penalaran dengan kebenaran-kebenarannya yang dapat dibuktikan secara matematis.
Meskipun tanpa penghitungan memalui angka-angka atau dengan statistik, tetapi
dapat diuji dan masuk akal akan kebenarannya.
Berbagai macam peralatan elektronik yang ada di
sekitar kita, merupakan contoh nyata dari kemampuan manusia dalam menerapkan
disiplin ilmu logika matematika diberbagai bidang kehidupan diantaranya seperti
listrik, computer, televise, dan radio dikembangkan atas dasar dan aturan
logika matematika yang dibentuk sederhana dalam sebuah rangkaian elektronik
yaitu menggunakkan rangkaian benar dan biasanya dinyatakan dengan on dan off. Berikut
ini akan penulis uraikan uraian salah satusub pokok kajian logika matematika
tentang konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, invers, dan konraposisi.
Kajian lokasi ini semua terlepas dari pernyataan-pernyataan yang konkret.
Biasanya pernyataan-pernyataan tersebut ditulis dengan huruf p dan q dengan suatu
ketentuan umum mengenai table kebenaran yang biasa ditulis dengan huruf B dan
pernyataan yang salah dengan huruf S.
B.
Tujuan
1.
Mengetahui logika pada Matematika
2.
Mengetahui macam –macam logika
3.
Mengetahui kegunaan masing-masing logika
C.
Manfaat
1.
Memahami tentang
logika
2.
Memahami secara lebih rinci macam –macam logika
3.
Dapat mengaplikasikan dalam kehidupan nyata
BAB II
PEMBAHASAN
I.
Konjungsi
Konjungsi adalah pernyataan baru yang dinyatakan dari
dua pernyataan dengan kata hubung “ dan “. Kalau tersebut dinyatakan dengan
“^”. Suatu pernyataan yang apabila kedua-duanya memenuhi permintaan benar ( B )
maka jawabannya benar. Jika tidak demikian maka salah.
Misalnya :
Alum dan Anton dipanggil Kepala Sekolah. Apabila keduanya datang memenuhi
panggilan Kepala Sekolah berarti itu hal yang benar, dan salah apabila salah
satu diantara mereka yang memenuhi panggilan atau tidak sama sekali.
Secara
sederhana konjungsi dapat kita lihat dari contoh berikut ini:
P = Irwan
anak yang pandai
Q =
Irwan anak yang rajin
P ^ q = Irwan anak yang rajin dan sopan
Konjungsi dari pernyataan p dan q bernilai benar,
apabila komponen-komponen pembentukannya bernilai benar. Sebaliknya bernilai
salah, apabila salah satu komponen baik p atau q bernilai salah atau
kedua-duanya. Hal ini dapat dinyatakan dengan tabel kebenaran berikut ini :
Tabel 1.
Dari table diatas kita dapat mengetahui bahwa
pernyataan konjungsi akan bernilai benar apabila p itu benar dan q juga benar.
Jika demikian berarti salah.
Kata penghubung konjungsi selain “ dan “ dapat pula
diganti dengan kata lain yang mempunyai arti sepadan atau sejajar dengan “ dan
“ diantaranya “ tetapi , walaupun, sedangkan dan lagi pula “, misalnya :
1.
Harun wanita
yang cantik, tetapi tidak sombong. Artinya
Harun wanita yang sangat cantik dan tidak sombong.
2.
Walaupun sering dihina, tetapi Anton tidak pernah
marah. Artinya Anton sering dihina dan tidak pernah marah.
II.
Disjungsi
Apabila terdapat dua pernyataan, dapat dibentuk
sebuah pernyataan baru dengan kata penghubung “ atau “ yang dinotasikan “v”.
Sesuatu pernyataan apabila salah satunya, maka pernyataan disjungsi benar, jika
tidak demikian bernilai salah.
Misalnya, Alum atau Anton ditunggu di ruang OSIS.
Kalau keduanya datang atau salah satunya saja berarti dapat memenuhi kriteria
kebenaran, dan apabila keduanya tidak hadir (S) berarti salah.
Contoh lain yaitu :
. p = Danar anak yang pandai
. q = Danar anak yang pintar
. p v q = Danar anak yang pandai atau pintar
Pernyataan Danar
anak yang pandai atau pintar berarti Danar anak yang pandai atau pintar atau
kedua-duanya yaitu anak yang pandai dan pintar. Disjungsi dari pernyataan
bernilai benar apabila paling sedikit salah satu dari kedua pernyataan tersebut
bernilai benar. Hal ini dapat dinyatakan dalam table berikut ini :
Tabel 2.
Dari tabel
diatas dapat kita ketahui bahwa nilai kebenaran ( B ) dari suatu pernyataan
disjungsi diperoleh apabila salah satu komponennya bernilai benar , apabila
keduanya salah maka pernyataan disjungsinya salah.
Latihan
1.
.p = Andi
mempunyai adik
.q = Andi menjadi kakak
.p v q = …………….
2.
Diketahui :
p : Siswa SMP Terpadu memenangkan
olimpiade matematika
q : Siswa SMP Terpadu menjadi juara
Ditanya : a. p v
q
b. Buatlah table kebenarannya
Penyelesaian :
1.
. p = Andi
mempunyai adik
.q = Andi menjadi kakak
. p v q = Andi menpunyai anak atau menjadi kakak
2.
.p = Siswa
SMP Terpadu memenangkan olimpiade matematika
.q =
Siswa SMP Terpadu menjadi juara
.p v q =
Siswa SMP Terpadu memenangkan olimpiade matematika atau menjadi juara
Tabel Kebenarannya adalah :
P
|
q
|
p v q
|
Siswa SMP
Terpadu memenangkan olimpiade matematika (B)
|
Siswa SMP
Terpadu menjadi juara (B)
|
Siswa SMP
Terpadu memenangkan olimpiade matematika atau menjadi juara (B)
|
Siswa SMP
Terpadu memenangkan olimpiade matematika (B)
|
Siswa SMP
Terpadu tidak menjadi juara (S)
|
Siswa SMP
Terpadu memenangkan olimpiade matematika (B)
|
Siswa SMP
Terpadu tidak memenangkan olimpiade matematika (S)
|
Siswa SMP
Terpadu menjadi juara (B)
|
Siswa SMP
Terpadu menjadi juara (B)
|
Siswa SMP
Terpadu tidak memenangkan olimpiade matematika (S)
|
Siswa SMP
Terpadu tidak menjadi juara (S)
|
Tidak mendapat
juara (S)
|
III.
Implikasi
Suatu pernyataan kebenaran dari p dan q dalam bentuk
implikasi dinyatakan dengan pernyataan baru yaitu “ Jika p maka q. Hal ini
dinotasikan dengan
“ p => q “. Yaitu suatu pernyataan apabila p benar , q salah bernilai
salah .
Bila tidak
demikian bernilai benar. Jadi pernyataan p => q terjadi pernyataan salah,
hanya karena p benar, q salah.
Contoh dalam kalimat yaitu :
.p = akar kuadrat empat adalah bilangan
real (B)
.q = jumlah sudut-sudut dalam segitiga 180
derajat (B)
.p => q = jika akar kuadrat empat adalah bilangan real
maka jumlah sudut
segitiga 180
derajat (B)
Pernyataan implikasi p => q
bernilai benar atau salah dapat dilihat pada tabel berikut ini :
Tabel 3.
Implikasi p => dapat dibaca dengan beberapa cara, antara lain
:
a.
Jika p maka q
b.
p berimplikasi q
c.
p berakibat q
d.
q jika p
e.
p syarat cukup bagi q
f.
q syarat perlu bagi p
Perlu diingat
bahwa penggunaan implikasi tidak diisyaratkan adanya hubungan sebab akibat (
hubungan kausalitas ). Oleh karena itu nilai kebenaran implikasi hanya ditentukan oleh
nilai kebenaran komponen-komponennya. Dalam implikasiterdapat implikasi logis,
namun terlebih dahulu akan diuraikan pengertian teutologi dan kontradiksi.
a.
Teutologi
Teutologi adalah suatu pernyataan yang selalu bernilai
benar untuk nilai suatu kebenaran dari komponen-komponennya. Untuk menentukan
atau membuktikan apakah suatu pernyataan merupakan teutologi. Kita dapat
menggunakan tabel kebenaran berikut ini
Tabel 4.
P
|
q
|
p^ q
|
( p^q) =>
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Pada kolom terakhir terdapat ( p^q ) =>q yaitu
notasi teutologi yang terbentuk dari pernyataan
“ jika ( p dan q ) maka q “. Yaitu nilai kebenarannya selalu benar untuk
semua komponen-komponennya.
b.
Kontradiksi
Kontradiksi adalah suatu pernyataan
yang selalu bernilai salah satu untuk setiap nilai kebenarannya dari
komponen-komponennya. Hal ini merupakan kebalikan dari tautology yang tersusun dari komponen “p dan negasi q “
( p^ q ) sebagaimana tabel berikut ini
Tabel
5.
P
|
q
|
-q
|
-p^-q
|
p^(p^-q )
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
Kolom
terakhir tampak jelas, bahwa semua komponen bernilai salah. Oleh karena itu q^(
p^ -q ) adalah suatu kontradiksi
c.
Implikasi logis
Suatu implikasi yang mempunyai nilai logika selalu
benar untuk nilai kebenaran dari komponenya. Dengan kata lain implikasi logis
adalah implikasi yang merupakan tautology yang dilambangkan dengan “ “
Contoh :
Dengan tabel
kebenaran tunjukkan bahwa ( p^ q ) => ( p v q ) merupakan suatu implikasi
logis
Penyelesaian :
Tabel 6.
P
|
q
|
p^q
|
p v q
|
(p^ q) =>
( p v q)
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
B
|
Pada kolom ke lima di atas, tampak bahwa nilai logika ( p^ q) =>( p v
q ) selalu benar. Hal ini yang dinamakan implikasi logis.
IV.
Biimplikasi
Suatu pernyataan majemuk yang terbentuk “… jika dan
hanya jika …” dinamakan biimplikasi yang dinyatakan dengan notasi p <=> q (
dibaca : p jika dan hanya jika q ) artinya pernyataan nilai kebenaran akan
bernilai benar apabila antara p dan q komponennya sama, jika berbeda, maka
bernilai salah.
Biimplikasi
merupakan bentuk singkat dari ( p => q )^ ( p => q ). Hal ini dinyatakan
dalam tabel di bawah ini :
Tabel
7.
Biimplikasi bernilai benar apabila komponen-komponennya memiliki
kebenaran yang sama.
Contoh :
1.
.p : Segitiga ABC adalah sama
sisi (B)
.q : Ketiga sisi segitiga ABC sama
panjang (B)
.p < =>
q :
Segitiga ABC adalah segitiga sama sisi jika
dan hanya
jika ketiga sisi
segitiga ABC sama panjang (B)
2.
.p
: Anton akan selalu berteman dengan Andi (B)
.q :
Andi setia kepada Anton sampai tua (B)
.p < = > q ; Anton akn selalu berteman dengan Andi
jika dan hanya
Jika Andi setia
kepada Anton sampai tua (B)
Mengenai biimplikasi logis, tidak jauh dari implikasi
logis yang merupakan teknologi yaitu suatu nilai logika yang selalu benar.
Biimplikasi logis dilambangkan “ =>
“. Berikut ini tabel kebenarannya, yaitu biimplikasi logis
p<=>q ≡ (p=>q)^(q=>p)
Tabel 8.
V.
Konvers ,Invers
dan Kontraposisi
Merupakan bagian dari implikasi. Konvers,invers,dan kontraposisi adalah suatu pernyataan implikasi baru dari suatu
pernyataan implikasi.
1.
Konvers adalah perubahan dari satu system ke system yang lain. Pernyataan q=>p
disebut konvers dari p=>q
2.
Invers adalah pembalikan suatu susunan dari suatu
susunan yang lazim.Pernyataan –p=>-q disebut invers dari p=>q
3.
Pernyataan –q=>-p disebut kontraposisi
Tabel kebenaran konvers, invers, dan kontraposisi :
Tabel 9.
   p q -p
-q |
Implikasi
p=>q
|
Konvers
q=>p
|
Invers
–p=>-q
|
Kontraposisi
–q=>-p
|
B B
S S
|
B
|
B
|
B
|
B
|
 B S S
B |
S
|
B
|
B
|
S
|
 S B B
S |
B
|
S
|
S
|
B
|
S S B
B
|
B
|
B
|
B
|
B
|
Dari table di atas diketahui implikasi ekuvalen dengan kontra posisi atau
biasa ditulis dengan p=>q=-q=>-p
Contoh :
1.
Implikasi :
Jika hati tenang maka kita senang
2.
Konvers :
Jika kita senang maka hati tenang
3.
Invers :
Jika hati tidak tenang maka kita tidak senang
4.
Kontraposisi :
Jika kita tidak senang maka hati tidak tenang
BAB
III
PENUTUP
A.
Kesimpulan
Dari uraian di atas, dapat penulis simpulkan bahwa :
1.
Konjungsi merupakan pernyataan kebenaran pernyataan
kebenaran apabila p dan q benar, bila tidak demikian bernilai salah
2.
Disjungsi yaitu p atau q ( p v q ), suatu pernyataan
harus salah satu komponen yang bernilai benar atau keduanya, maka akan bernilai
benar
3.
Implikasi yaitu pernyataan “ jika p maka q “ dengan
ketentuan q tidak boleh salah (S) untuk mendapatkan nilai kebenaran yang benar, kecuali
kedua-duanya salah (S)
4.
Biimplikasi (… jika dan hanya jika…” yaitu suatu
pernyataan bernilai benar apabila
komponen- komponennya memiliki kebenaran yang sama
5.
Konvers, Invers, dan Kontraposisi merupakan suatu
pernyataan implikasi baru dari suatu pernyataan implikasi
B.
Saran
Diharapkan mahasiswa atau pelajar berikutnya dapat mengembangkan
makalah ini supaya lebih sederhana dan lebih mudah dimengerti . Diharapkan
mahasiswa dapat memahami mata kuliah logika matematika sehingga dapat dipahami
oleh siswanya dan juga dapat mengaplikasikannya dalam kehidupan nyata.
DAFTAR
PUSTAKA
Sucipto , Endar. 2000.
Matematika 1a.Jakarta : Erlangga
Kartini.2005. Matematika
1a.Jakarta : Intan Pariwara
Asyari, Fata. 1991.
Strategi Memahami Matematika SMTA Seri B.
Bandung : Group Bandung
Tidak ada komentar:
Posting Komentar